1. Главная
2. ИИ
3. Временные ряды
4. ЛР №7

Вейвлет-преобразование

Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения :

Вейвлет - “маленькая волна”. Вейвлет-преобразование одномерного сигнала состоит в его разложении по базису, сконструированному из обладающей определенными свойствами солитоноподобной функции (вейвлета), посредством масштабных преобразований и переносов.

Вейвлет-преобразование обеспечивает двумерную развертку (в отличие от одномерной преобразования Фурье) исследуемого одномерного сигнала, при этом частота ($a$) и координата ($b$) рассматриваются как независимые переменные.

Простейший пример ортогонального вейвлета - HAAR-вейвлет, определяемый соотношением

$ \psi^H(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t < 1/2 \\\
-1, & 1/2 \le t < 1 \\\
0, & t < 0, t \ge 1. \end{cases} $

ещё формулы

Признаки вейвлета: локализация, нулевое среднее, ограниченность, автомодальность базиса.

Вейвлет-преобразование - это интегральное преобразование, представляющее собой свертку вейвлет-функции с сигналом.

Непрерывное вейвлет-преобразование

Прямое вейвлет-преобразование сигнала $f(t)$:

$ W_f(a,b) = \vert a \vert ^{-1/2} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \psi^* (\frac{t-b}{a}) dt $

Если для порождающего вейвлета $\psi (t)$ выполняется равенство $ C_{\psi} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\vert \Psi(\Omega) \vert ^2}{\Omega} d \Omega < \infty $, то возможно обратное преобразование:

$ f(t) = \frac{1}{C_{\psi}} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} W_f(a,b) \psi_{ab}(t) \frac{da db}{a^2} .$

Здесь $\Psi(\Omega)$ - преобразование Фурье функции $\psi(t)$ .

Вейвлет-преобразование может быть записано также через образы Фурье сигнала $\widehat f(w)$ и вейвлета $\widehat \psi (w)$.

В результате вейвлет-преобразования комплексного одномерного сигнала получаются двуменые массивы значений модуля коэффициентов и фазы: $ W(a,b) = \vert W(a,b) \vert exp [i \Phi (a,b)] $

Спектр $W(a,b)$ однмерного сигнала представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. Ее можно представить в виде проекции на плоскость $ab$ с изолиниями или изоуровнями или картину линий локальных экстремумов этих поверхностей (“sceleton”).

Дискретное вейвлет-преобразование

При исследовании сигналов полезно их представление в виде совокупности последовательных приближений грубой (аппроксимирующей) $A_{j_0}(t)$ и уточненной (детализирующей) $D_j(t)$ составляющих:

$f(t) = A_{j_0}(t) + \sum_{j=1}^{j_0} D_j(t)$

с последующим их уточнением итерационным методом. Каждый шаг уточнения соответствует определенному масштабу, то есть уровню $j_0$ анализа (декомпозиции) и синтеза (реконструкции) сигнала.

Коэффициенты аппроксимации (cA) представляют выход фильтра нижних частот (фильтра усреднения) DWT. Коэффициенты детализации (cD) представляют выход фильтра высоких частот (разностного фильтра) DWT.

DWT всегда реализуется как банк фильтров в виде каскада высокочастотных и низкочастотных фильтров. Банки фильтров являются очень эффективным способом разделения сигнала на несколько частотных поддиапазонов.

На первом этапе с малым масштабом анализируется высокочастотное поведение сигнала. На втором этапе шкала увеличивается с коэффициентом два (частота уменьшается с коэффициентом два), и мы анализируем поведение около половины максимальной частоты. На третьем этапе масштабный фактор равен четырем, и мы анализируем частотное поведение около четверти максимальной частоты. И это продолжается до тех пор, пока мы не достигнем максимального уровня разложения.

Задание 1

• Построить график произвольной функции из pywt.data.
• Построить скейлограмму.
• Построить трехмерную поверхность двухпараметрического спектра $W(a,b)$. Как здесь.
• Построить плоскость $ab$ с цветовыми областями вейвлет-преобразования.
• Построить сечения вейвлет-спектра $W(a,b)$ по нескольким произвольным значениям $a$ и $b$.
• Построить скелетон - линии локальных экстремумов.

Задание 2

• Добавить к сигналу из ЛР5 белый гауссовский шум с нулевым математическим ожиданием и произвольно выбранной дисперсией.
• Вычисление прямого дискретного вейвлет-преобразования с пошаговым выводом графиков коеффициентов (что-то такое).
• Вычисление обратного дискретного вейвлет-преобразования.

• Сравнение исходного сигнала (без шума) с сигналом, прошедшим через фильтр. $MSE = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} (f(k) - \widehat f(k))^2 $, где $f(k)$ - эталонный сигнал, $\widehat f(k)$ - восстановленный сигнал.

• Поменять вейвлет на произвольный неуказанный в вариантах и повторить все пункты выше.