Лоскутов А.Ю. Анализ временных рядов. Курс лекций (2009)
Статистические методы обработки временных рядов предполагают, что изучаемый ряд стохастический. Это не всегда верно. Помимо случайных процессов, описываемых статистикой и теорией вероятности, существует хаос. Обычно критерием отличия хаотических систем является неустойчивость к малым возмущениям.
Сосредоточенные системы, с которыми мы обычно работаем, имеют конечное число степеней свободы (система автоматического управления температурой котла) и для них мы можем использовать уравнения/модели. Трудности - вычислительные, состоят в нахождении значений показателей для подстановки в известные формулы.
Фазовое пространство распределенных систем (атмосфера), которых в природе большинство, является бесконечномерным. Большинство таких систем диссипативны: с течением времени все фазовые траектории стягиваются к некоторому подмножеству исходно бесконечномерного пространства. Как правило, это подмножество конечномерно и описывается каким-то конечным набором переменных. Следовательно, рассматривая это подмножество, можно изучить динамику исходной системы.
Наименьшее число независимых переменных, однозначно определяющих установившееся движение исходной диссипативной распределенной системы, называют размерностью вложения и обозначают $d_e$ (от embedding).
Подмножество, к которому стягиваются траектории системы, - это аттрактор (attract - притягивать).
Точка бифуркации, точка в фазовом пространстве, от которой могут исходить несколько решений (устойчивых и неустойчивых).
При анализе временных рядов главной задачей является реконструкция породившей этот ряд динамической системы.
В соответствии с теорией Такенса–Мане приемлемое описание фазового пространства динамической системы можно получить, если взять вместо реальных переменных системы (которые могут быть неизвестны вообще!) $k$–мерные векторы задержек, составленные из значений ряда в последовательные моменты времени.
При выполнении условия $k >= 2 d_e + 1$, где $d_e$ - размерность вложения, возможно реконструировать фазовое пространство системы. При условии стационарности временного ряда на базе этой реконструкции строится прогноз его дальнейшей динамики.
Методы определения $k$:
В рамках нелинейной динамики были разработаны практические методики: